市场数据
定价与收益
用向量描述特定资产的时间序列。
有 N 个资产,资产 s 的时间序列为 Πs(t),其中 t=[T],s=[N];时间差标准化为 1,在应用中时间差可小到毫秒级别。
资产在时刻 t 的收益定义在时间变化 Δt∈Z+ 上,资产 s 的收益为 ys(t):=Πs(t−Δt)Πs(t)−Πs(t−Δt)。
期望收益与协方差矩阵
向量 y(t) 表示 N 个资产时刻 t 的收益。定义未来 Δt 后的收益为 Y,其期望为
Rid:=E[Y]
根据历史收益,Rid 可估计为
R=T1t=1∑Ty(t)
定义收益协方差矩阵为
Σid=V[(Y−Rid)(Y−Rid)T]
根据历史收益,Σid 可估计为
Σ=T−11t=1∑T(y(t)−R)(y(t)−R)T
量子计算机中的市场数据
数据获取
数据访问用 qRAM 实现。令 di 表示 m 比特的市场数据近似,存储在第 i 个 qRAM 中,其中 i=[NqRAM]。有一个 log2NqRAM 比特量子寄存器,表示所访问的 qRAM 编号。
qRAM允许对数据的并行访问,一次查询操作可表示为:
i=1∑NqRAMαi∣i⟩∣0⟩⊗m→i=1∑NqRAMαi∣i⟩∣di⟩
输入
T 个时间片,N 个投资品的时间序列。
∣s⟩∣t⟩∣0⟩⊗m→∣s⟩∣t⟩∣Πs(t)⟩
可构造
∣s⟩∣t⟩∣0⟩⊗m→∣s⟩∣t⟩∣ys(t)⟩
引入辅助比特,用受控旋转门得到与收益向量 y(t) 有关的量子态
∣ys(t)⟩∣0⟩→∣ys(t)⟩(1−δ2ys2(t)∣0⟩+δys(t)∣1⟩)
当辅助比特测量为 1 时(成功概率 TNδ2∑t=1T∑s=1Nys2(t))
∣y∣1t=1∑Ts=1∑Nys(t)∣t⟩∣s⟩=∣y∣1t=1∑T∣y(t)∣∣t⟩∣y(t)⟩=:∣χ⟩
其中
∣y∣2=t=1∑Ts=1∑Nys2(t)=t=1∑T∣y(t)∣2
∣y(t)⟩:=∣y(t)∣1s=1∑Nys(t)∣s⟩
期望收益
对 ∣χ⟩ 中的 ∣t⟩ 做 Hadamard operation 然后测量 0 态
T1t=1∑T⟨t∣χ⟩→∣y′∣1s=1∑N(t=1∑Tys(t))∣s⟩≡∣R⟩
协方差矩阵
投资组合优化
投资组合优化问题可以表述为一个等式约束的二次规划问题:对于固定的标准差(风险偏好),找到最大化期望收益的投资组合;或者等价地,对于固定的期望收益,找到最小化收益标准差的投资组合。
投资品的风险用投资品收益的标准差衡量,标准差越大风险越大。
风险-收益空间
转化为线性方程
今日资产价值用向量 Π 表示,期望收益为 R,协方差矩阵为 Σ。投资者总资产为 ξ,每个投资品买的数量为 w。投资组合满足约束 ξ=ΠTw,期望收益 RTw。投资者希望获得预期收益 μ=RTw,并最小化风险 wTΣw。
wmins.t.wTΣwRTw=μΠTw=ξ
引入拉格朗日乘子得 Mx=b
00R00ΠRTΠTΣηθw=μξ0
HHL
产生量子态的用途
-
测量风险 τ=⟨w∣Σ∣w⟩。
-
绘制风险-收益曲线。
-
用别的方案 ∣w~⟩ 和 ∣w⟩ 进行swap test,验证 ∣w~⟩ 的合理性。
-
测量 ⟨Psector∣w⟩,得到某一部分的权重。
-
对 ∣w⟩ 采样