矩阵指数
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麦克劳林展开
ex=i=0∑∞i!xi
矩阵 A 的指数函数表示
eA=i=0∑∞i!Ai
假设 A 为对角阵
A=diag(A11,A22,⋯,Ann)
可证明对于对角阵 A
At=diag(A11t,A22t,⋯,Annt)
于是
eA=i=0∑∞diag(i!A11i,i!A22i,⋯,i!Anni)=diag(i=0∑∞i!A11i,i=0∑∞i!A22i,⋯,i=0∑∞i!Anni)=diag(eA11,eA22,⋯,eAnn)
如果 A 不是对角阵,可以进行对角分解 A=UDU†,则 eA=UeDU†。
生成元
以矩阵 A 为生成元的酉变换 e−iθA。
设 U 为Pauli矩阵,则 U2=I,且 U 为对角阵。
以Pauli矩阵为生成元,可得到旋转门。
e−iγU=i=0∑∞i!(−iγU)i=(1−2!γ2+4!γ4−6!γ6+⋯)I−i(γ−3!γ3+5!γ5−7!γ7+⋯)U=cosγI−isinγU