生成元与酉变换

矩阵指数

矩阵指数-维基百科

麦克劳林展开

$$e^x=\sum_{i=0}^\infty\frac{x^i}{i!}$$

矩阵 $A$ 的指数函数表示

$$e^A=\sum_{i=0}^\infty\frac{A^i}{i!}$$

假设 $A$ 为对角阵

$$A=\text{diag}(A_{11},A_{22},\cdots,A_{nn})$$

可证明对于对角阵 $A$

$$A^t=\text{diag}(A_{11}^t,A_{22}^t,\cdots,A_{nn}^t)$$

于是

$$\begin{aligned} e^A&=\sum_{i=0}^\infty\text{diag}\left(\frac{A_{11}^i}{i!},\frac{A_{22}^i}{i!},\cdots,\frac{A_{nn}^i}{i!}\right)\\ &=\text{diag}\left(\sum_{i=0}^\infty\frac{A_{11}^i}{i!},\sum_{i=0}^\infty\frac{A_{22}^i}{i!},\cdots,\sum_{i=0}^\infty\frac{A_{nn}^i}{i!}\right)\\ &=\text{diag}\left(e^{A_{11}},e^{A_{22}},\cdots,e^{A_{nn}}\right) \end{aligned}$$

如果 $A$ 不是对角阵，可以进行对角分解 $A=UDU^{\dagger}$，则 $e^A=Ue^DU^\dagger$。

生成元

以矩阵 $A$ 为生成元的酉变换 $e^{-i\theta A}$。

设 $U$ 为Pauli矩阵，则 $U^2=I$，且 $U$ 为对角阵。

以Pauli矩阵为生成元，可得到旋转门。

$$\begin{aligned} e^{-i\gamma U}&=\sum_{i=0}^\infty\frac{(-i\gamma U)^i}{i!}\\ &=(1-\frac{\gamma^2}{2!}+\frac{\gamma^4}{4!}-\frac{\gamma^6}{6!}+\cdots)I-i(\gamma-\frac{\gamma^3}{3!}+\frac{\gamma^5}{5!}-\frac{\gamma^7}{7!}+\cdots)U\\ &=\cos\gamma I-i\sin\gamma U \end{aligned}$$