简介

给定哈密顿量 HH，VQE估计基态能量 E0E_0：

H∣E0⟩=λ∣E0⟩H|E_0\rangle=\lambda|E_0\rangle

  1. 制备初态 ∣ψ⟩=∣ψHF⟩|\psi\rangle=|\psi_{\text{HF}}\rangle
  2. 通过拟设 ∣ψ⟩=U(θ)∣ψHF⟩|\psi\rangle=U(\boldsymbol{\theta})|\psi_{\text{HF}}\rangle
  3. 测量能量期望值 E(θ)E(\boldsymbol{\theta})
  4. 经典优化方法更新 θ\boldsymbol{\theta}

拟设

可拓展型量子电路

  • depth
  • entanglement

不同纠缠策略的可拓展量子电路

UCC拟设电路

基于量子化学领域幺正耦合簇理论构造

试探波函数测量

能量期望值

⟨ψ∣H∣ψ⟩\langle\psi|H|\psi\rangle

现有量子计算机上的架构默认可以对每个量子比特进行计算基（泡利 ZZ 算符）上的测量。

单量子比特

⟨ψ∣Z∣ψ⟩=⟨ψ∣(∣0⟩⟨0∣−∣1⟩⟨1∣)∣ψ⟩=∣⟨ψ∣0⟩∣2−∣⟨ψ∣1⟩∣2\langle\psi|Z|\psi\rangle=\langle\psi|(|0\rangle\langle0|-|1\rangle\langle1|)|\psi\rangle=|\langle\psi|0\rangle|^2-|\langle\psi|1\rangle|^2

多量子比特

⟨ψ∣Z0⊗Z1⊗⋯⊗ZN−1∣ψ⟩=⟨ψ∣(∣0⟩⟨0∣−∣1⟩⟨1∣)⊗⋯⊗(∣0⟩⟨0∣−∣1⟩⟨1∣)∣ψ⟩=∣⟨ψ∣00⋯0⟩∣2−∣⟨ψ∣00⋯1⟩∣2+⋯+(−1)N∣⟨ψ∣11⋯1⟩∣2\begin{aligned} &\langle\psi|Z_0\otimes Z_1\otimes \cdots\otimes Z_{N-1}|\psi\rangle\\ =&\langle\psi|(|0\rangle\langle0|-|1\rangle\langle1|)\otimes\cdots\otimes(|0\rangle\langle0|-|1\rangle\langle1|)|\psi\rangle\\ =&|\langle\psi|00\cdots0\rangle|^2-|\langle\psi|00\cdots1\rangle|^2+\cdots+(-1)^{N}|\langle\psi|11\cdots1\rangle|^2 \end{aligned}

对 XX 和 YY 求期望值，需要在此之前加上旋转门。

将 HH 映射为

H=∑kckHkHk=Z0⊗X1⊗Y2⊗⋯⊗ZN−1H=\sum_k c_kH_k\\ H_k=Z_0\otimes X_1\otimes Y_2\otimes\cdots\otimes Z_{N-1}

测量每个 HkH_k 的期望值，再以权重 ckc_k 求和，得到能量期望值。以能量期望值作为损失函数，变分得到其最小值（基态）。

测量时改动哈密顿量和试探波函数

Hk↦Z0⊗Z1⊗Z2⊗⋯⊗ZN−1∣ψ⟩↦I⊗H⊗Rx(π2)⊗×⊗I∣ψ⟩H_k\mapsto Z_0\otimes Z_1\otimes Z_2\otimes\cdots\otimes Z_{N-1}\\ |\psi\rangle\mapsto I\otimes H\otimes R_x\left(\frac{\pi}{2}\right)\otimes\times\otimes I|\psi\rangle

优化参数

  • 解析梯度法
  • 随机梯度下降
  • 单纯形法
  • 粒子群算法
  • 模拟退火

重叠权重法

利用重叠权重法可得到激发态波函数。当已知基态 ∣E0⟩|E_0\rangle，修改哈密顿量

H′=H+α∣E0⟩⟨E0∣H^\prime= H+\alpha|E_0\rangle\langle E_0|

令 α\alpha 为很大的常数，则 ∣E1⟩|E_1\rangle 为 H′H^\prime 的基态，E2,⋯ENE_2,\cdots E_{N} 类似。