生日悖论

问题描述

不考虑出生年份，一个房间中至少多少人，才能使其中两人生日相同的概率达到 $50\%$？

解

设一年有 $n$ 天，房间里有 $x$ 人。

设 $x$ 人生日互不相同为事件 $A$，则事件 $A$ 发生的概率为

$$P(A)=\frac{\prod\limits_{i=1}^x(n-i+1)}{n^x}=\prod\limits_{i=1}^{x-1}\left(1-\frac{i}{n}\right)$$

至少有两人生日相同的概率为 $P(\overline A)=1-P(A)\ge\frac{1}{2}$，等价于 $P(A)\le \frac{1}{2}$。

由不等式 $1-x\le e^{-x}$，有 $\prod\limits_{i=1}^{x-1}\left(1-\frac{i}{n}\right)\le\prod\limits_{i=1}^{x-1}e^{\frac{i}{n}}$，即 $P(A)\le e^{-\frac{(x-1)x}{2n}}$。

我们做粗略的估计，令 $e^{-\frac{(x-1)x}{2n}}\le \frac{1}{2}$，将 $n=365$ 代入，解得 $x\ge 23$。

注意

上述过程只是用不等式 $1-x\le e^{-x}$ 进行了粗略的估计，并不严格满足放缩法的条件；但是结果是相当准确的，当 $n=365$，二分法得到 $x=23$ 才能使两人生日相同概率达到 $\frac{1}{2}$。