牛客竞赛 NC19809 Growth

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传送门 $\looparrowright$

题目描述

弱弱有两个属性 $a$ 和 $b$，这两个属性初始的时候均为 $0$，每一天他可以通过努力，让 $a$ 涨 $1$ 点或 $b$ 涨 $1$点。
为了激励弱弱努力学习，我们共有 $n$ 种奖励，第 $i$ 种奖励有 $x_i,y_i,z_i$ 三种属性，若 $a≥ x_i$ 且 $b≥ y_i$，则弱弱在接下来的每一天都可以得到 $z_i$ 的分数。
问 $m$ 天以后弱弱最多能得到多少分数。

输入描述

第一行一个两个整数 $n$ 和 $m$$(1≤ n≤ 1000,1≤ m≤ 2000000000)$。
接下来 $n$ 行，每行三个整数 $x_i,y_i,z_i$$(1≤ x_i,y_i≤ 1000000000,1≤ z_i ≤ 1000000)$。

输出描述

一行一个整数表示答案。

示例1

输入
2 4
2 1 10
1 2 20
输出
50

备注

在样例中，弱弱可以这样规划：第一天 $a$ 涨 $1$，第二天 $b$ 涨 $1$，第三天 $b$ 涨 $1$，第四天 $a$ 涨 $1$。
共获得 $0+0+20+30=50$ 分。

分析

定义 $v[i][j]$，为保持 $a=i，b=j$ 的状态，在将来 $m-i-j$ 天，每天能获得的分数。定义 $dp[i][j]$ 表示，当恰好达到 $a=i,b=j$ 的状态时，能够获得的最高分。
初始状态为 $v[x_i][y_i]=z_i$，类似二维前缀和，递推可得，v[i][j]+=v[i-1][j]+v[i][j-1]-v[i-1][j-1]。
有状态转移方程，$dp[i][j]=v[i][j]+\max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])$。
此题 $x_i,y_i$ 的数据较大，因此需要进行离散化。定义两个数组 $X,Y$，对 $x_i,y_i$ 离散化。因此 $v[i][j]$ 表示，保持 $a=X[i],b=Y[j]$ 的状态，在将来 $m-i-j$ 天，每天能获得的分数；$dp[i][j]$ 表示，当恰好达到 $a=X[i],b=Y[j]$ 的状态时，能够获得的最高分。
状态转移方程为 $dp[i][j]=v[i][j]+\max(dp[i-1][j]+(X[i]-X[i-1]-1)\times v[i-1][j],dp[i][j-1]+(Y[j]-Y[j-1]-1)\times v[i][j-1])$，从 $X[i-1]$ 过渡到 $X[i]$，有 $X[i]-X[i-1]-1$ 天获得的分数为 $v[i-1][j]$；从 $Y[j-1]$ 过渡到 $Y[j]$ 同理。
假设 $m$ 天结束后的状态为 $a=X[i],b=Y[j]$，则获得的最高分为，$dp[i][j]+v[i][j]\times (m-X[i]-Y[i])$。因此可以枚举结束后的状态 $i,j$ 得到答案，即 $ans=\max\limits_{1\le i\le cx,1\le j\le cy} dp[i][j]+v[i][j]\times (m-X[i]-Y[i])$，其中 $cx$ 为不同的 $x_i$ 的个数，$cy$ 为不同的 $y_i$ 的个数。

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define N 1002
#define ll long long
using namespace std;
//--------------
//n为奖励的个数。
//m为经历的天数。
int n,m;
//--------------
//-----------------------------------------------------------------
//X,Y为离散化数组。
//v[i][j]表示，保持a=X[i]，b=Y[j]的状态，在将来(m-X[i]-Y[j])天，每天能获得的分数。
//dp[i][j]表示，当a=X[i]，b=Y[j]时，能够获得的最高分。
ll X[N],Y[N];
ll v[N][N];
ll dp[N][N];
//-----------------------------------------------------------------
//--------------------------------------------------
//reward数组记录奖励的信息，其中x+y>m的奖励不必要记录。
//cnt为可行奖励的个数（对于其中任意一条奖励，有x+y<=m）。
//cx为X离散化后的大小
//cy为Y离散化后的大小
struct node
{
	ll x;
	ll y;
	ll z;
}reward[N];
int cnt,cx,cy;
//--------------------------------------------------
int main()
{
	cin>>n>>m;
	int i,j;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		ll x,y,z;
		scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);
		if(x+y>m) continue;//忽略
		reward[++cnt]=node{x,y,z};
		X[++cx]=x;
		Y[++cy]=y;
	}
	//-------------------------------
	//排序，去重。
	sort(X+1,X+1+cx);
	cx=unique(X+1,X+1+cx)-X-1;
	sort(Y+1,Y+1+cy);
	cy=unique(Y+1,Y+1+cy)-Y-1;
	//-------------------------------
	//-----------------------------------------------
	//初始化。
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		int I=lower_bound(X+1,X+1+cx,reward[i].x)-X;
		int J=lower_bound(Y+1,Y+1+cy,reward[i].y)-Y;
		v[I][J]+=reward[i].z;//注意"+="
	}
	//------------------------------------------------
	//------------------------------------------------
	//二维前缀和维护v[i][j]
	for(i=1;i<=cx;i++)
	{
		for(j=1;j<=cy;j++)
		{
			v[i][j]+=v[i-1][j]+v[i][j-1]-v[i-1][j-1];
		}
	}
	//------------------------------------------------
	//-------------------------------------------------------------------------------------------------------
	//递推dp[i][j]。
	for(i=1;i<=cx;i++)
	{
		for(j=1;j<=cy;j++)
		{
			dp[i][j]=v[i][j]+max(dp[i-1][j]+(X[i]-X[i-1]-1)*v[i-1][j],dp[i][j-1]+(Y[j]-Y[j-1]-1)*v[i][j-1]);
		}
	}
	//--------------------------------------------------------------------------------------------------------
	//---------------------------------------------------------
	//假设最终状态为a=X[i],b=Y[j]，更新答案。
	ll ans=0;
	for(i=1;i<=cx;i++)
	{
		for(j=1;j<=cy;j++)
		{
			if(X[i]+Y[j]>m) continue;
			ans=max(ans,dp[i][j]+(ll)(m-X[i]-Y[j])*v[i][j]);
		}
	}
	//---------------------------------------------------------
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}