洛谷P1880 [NOI1995]石子合并

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题目描述

在一个圆形操场的四周摆放 $N$ 堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的 $2$ 堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。
试设计出一个算法,计算出将 $N$ 堆石子合并成 $1$ 堆的最小得分和最大得分。

输入格式

数据的第 $1$ 行是正整数 $N$，表示有 $N$ 堆石子。
第 $2$ 行有 $N$ 个整数，第 $i$ 个整数 $a_i$ 表示第 $i$ 堆石子的个数。

输出格式

输出共 $2$ 行，第 $1$ 行为最小得分，第 $2$ 行为最大得分。

输入输出样例

输入 #1

4
4 5 9 4

输出 #1

43
54

说明/提示

$1\leq N\leq 100$，$0\leq a_i\leq 20$。

分析

由于石子摆在圆形操场的四周，因此 $n$ 堆石子会摆放成一个环，于是不妨将 $n$ 堆石子复制一份，使得 $a_i=a_{i+n}$。
定义 $dp_{min}[i][j]$ 为合并区间 $[i,j]$ 内石子获得的最小得分，有状态转移方程 $dp_{min}[i][j]=\min\limits_{i\le k<j}(dp_{min}[i][k]+dp_{min}[k+1][j]+count(i,j))$。同理，定义 $dp_{max}[i][j]$ 为合并区间 $[i,j]$ 内石子获得的最大得分，有状态转移方程 $dp_{max}[i][j]=\max\limits_{i\le k<j}(dp_{max}[i][k]+dp_{max}[k+1][j]+count(i,j))$。所求即为 $\min\limits_{1\le i\le n-1}dp_{min}[i][i+n]$ 和 $\max\limits_{1\le i\le n-1} dp_{max}[i][i+n]$。

代码

#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 302
using namespace std;
int dp_min[N][N];
int dp_max[N][N];
int n;
int sum[N];
int a[N];
int main()
{
	//初始化
	memset(dp_min,0x3f,sizeof(dp_min));
	memset(dp_max,0,sizeof(dp_max));
	int i,j,k;
	cin>>n;
	for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i);
	for(i=n+1;i<=2*n;i++) a[i]=a[i-n];
	//O(1)获得count(i,j)
	for(i=1;i<=2*n;i++) sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	for(j=1;j<=2*n;j++)//右边界
	{
		for(i=j;i>=1;i--)//左边界
		{
			if(i==j) dp_min[i][j]=dp_max[i][j]=0;
			for(k=i;k<j;k++)//分界点
			{
				dp_min[i][j]=min(dp_min[i][k]+dp_min[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1],dp_min[i][j]);
				dp_max[i][j]=max(dp_max[i][k]+dp_max[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1],dp_max[i][j]);
			}
		}
	}
	int ans_min=0x3f3f3f3f,ans_max=-1;
	for(i=1;i<=n-1;i++)
	{
		ans_min=min(ans_min,dp_min[i][i+n-1]);
		ans_max=max(ans_max,dp_max[i][i+n-1]);
	}
	cout<<ans_min<<endl<<ans_max<<endl;
	return 0;
}