洛谷P1091 合唱队形

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题目描述

$N$ 位同学站成一排，音乐老师要请其中的 $(N-K)$ 位同学出列，使得剩下的 $K$ 位同学排成合唱队形。
合唱队形是指这样的一种队形：设 $K$ 位同学从左到右依次编号为 $1,2,…,K$，他们的身高分别为 $T_1,T_2,…,T_K$， 则他们的身高满足 $T_1<...< T_i >T_{i+1}>…>T_K(1 \le i \le K)$。
你的任务是，已知所有 $N$ 位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。

输入格式

共二行。
第一行是一个整数 $N(2 \le N \le 100)$，表示同学的总数。
第二行有 $n$ 个整数，用空格分隔，第 $i$ 个整数 $T_i(130 \le T_i \le 230)$ 是第 $i$ 位同学的身高(厘米)。

输出格式

一个整数，最少需要几位同学出列。

输入输出样例

输入 #1

8
186 186 150 200 160 130 197 220

输出 #1

4

说明/提示

对于 $50\%$ 的数据，保证有 $n \le 20$；
对于全部的数据，保证有 $n \le 100$。

分析

首先，要让最少的同学出列，就等价于让尽量多的同学留在队伍中。
观察到合唱队形满足 $T_1<...< T_i >T_{i+1}>…>T_K(1 \le i \le K)$，在合唱队形中，以第 $i$ 个同学为分界点（分界点即为最高点），从 $T_1$ 到 $T_i$ 递增，从 $T_i$ 到 $T_K$ 递减。
设原队形中第 $i$ 个同学的身高为 $height[i]$。假设我们选取第 $i$ 个同学作为合唱队形的最高点，那么要使尽量多的同学留在队伍中，合唱队形左边应该是 $height$ 数组中从左到右以 $hegiht[i]$ 结尾的 $\text{LIS}$；右边应该是 $hegiht$ 数组中从右到左以 $height[i]$ 结尾的的 $\text{LIS}$。
我们可以预处理出 $height$ 数组中正向和逆向的最长上升子序列长度，然后枚举合唱队形的最高点，就可以得到最多能有多少同学留在队伍中，也就能知道最少需要几位同学出列。
设 $l[i]$ 为从左到右以 $height[i]$ 结尾的 $\text{LIS}$ 长度，$r[i]$ 为从右到左以 $height[i]$ 为结尾的 $\text{LIS}$ 长度。
有状态转移方程

$$l[i]=\max\limits_{1\le j<i}(l[j]+1)\times [height[i]>height[j]]$$

$$r[i]=\max\limits_{i< j\le n}(r[j]+1)\times [height[i]>height[j]]$$

当以 $height[i]$ 为最高点时，能留在队伍中的同学个数为 $l[i]+r[i]-1$。
因此，答案为 $\min\limits_{1\le i\le n}n-(l[i]+r[i]-1)$。

代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define N 103
using namespace std;
int l[N],r[N];
int height[N];
int n,ans=0x3f3f3f3f;
int main()
{
	int i;
	cin>>n;
	for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",height+i);
	for(i=1;i<=n;i++) l[i]=r[i]=1;//LIS初始长度都为1
	int j;
	//计算两个方向的LIS长度
	for(i=2;i<=n;i++)
	{
		for(j=1;j<i;j++)
		{
			if(height[i]>height[j])
			{
				l[i]=max(l[i],l[j]+1);
			}
		}
	}
	for(i=n-1;i>=1;i--)
	{
		for(j=n;j>i;j--)
		{
			if(height[i]>height[j])
			{
				r[i]=max(r[i],r[j]+1);
			}
		}
	}
	//迭代更新最小值
	for(i=1;i<=n;i++) ans=min(ans,n-(l[i]+r[i]-1));
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}