洛谷P1002 过河卒

传送门 $\looparrowright$

题目描述

棋盘上 $A$ 点有一个过河卒，需要走到目标 $B$ 点。卒行走的规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上 $C$ 点有一个对方的马，该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。因此称之为“马拦过河卒”。
棋盘用坐标表示，$A$ 点 $(0, 0)$、$B$ 点 $(n, m)$，同样马的位置坐标是需要给出的。
现在要求你计算出卒从 $A$ 点能够到达 $B$ 点的路径的条数，假设马的位置是固定不动的，并不是卒走一步马走一步。

输入格式

一行四个正整数，分别表示 $B$ 点坐标和马的坐标。

输出格式

一个整数，表示所有的路径条数。

输入输出样例

输入 #1

6 6 3 3

输出 #1

6

说明/提示

对于 $100 \%$ 的数据，$1 \le n, m \le 20$，$0≤ 马的坐标 \le 20$。

分析

设 $dp[i][j]$ 为从 $(0,0)$ 走到点 $(i,j)$ 的路径数。对于没有任何状态的格点图，显然有状态转移方程 $dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]$；然而在题给的图中，有一些点是不可走的，对于一个被马控制的点 $(i,j)$ 有 $dp[i][j]=0$。综上所述，需要预处理出马可以控制的 $9$ 个点，定义 $is[i][j]$，若 $(i,j)$ 被马控制，$is[i][j]$ 为真。
有状态转移方程

$$ dp[i][j]=\begin{cases}0&,is[i][j]=1\\dp[i-1][j]+dp[i][j-1]&,is[i][j]=0 \end{cases} $$

接下来分析边界条件，即确定 $dp[i][0](1\le i\le n)$ 和 $dp[0][j](1\le j\le m)$ 。由于过河卒只能向下和向右走，因此对于边界上某一点，走到这个点上的路径数至多为 $1$；若沿着边界一直走，碰到一个被马控制的点，那么边界上剩下的点都不可达，路径数为 $0$ 。

代码

#include<iostream>
#define N 30
using namespace std;
long long dp[N][N];
int n,m;
int x,y;
bool is[N][N];
int main()
{
	cin>>n>>m>>x>>y;
	int i,j;
	//预处理被马控制的九个点
	is[x][y]=1;
	if(x>=2&&y>=1) is[x-2][y-1]=1;
	if(x+2<=n&&y>=1) is[x+2][y-1]=1;
	if(x>=2&&y+1<=m) is[x-2][y+1]=1;
	if(x+2<=n&&y+1<=m) is[x+2][y+1]=1;
	if(x>=1&&y>=2) is[x-1][y-2]=1;
	if(x+1<=n&&y>=2) is[x+1][y-2]=1;
	if(x>=1&&y+2<=m) is[x-1][y+2]=1;
	if(x+1<=n&&y+2<=m) is[x+1][y+2]=1;
	//确定边界
	bool ok=1;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		//遇到被马控制的点后其余点皆不可走
		if(is[i][0]) ok=0;
		if(ok) dp[i][0]=1;
		else dp[i][0]=0;
	}
	ok=1;
	for(j=1;j<=m;j++)
	{
		if(is[0][j]) ok=0;
		if(ok) dp[0][j]=1;
		else dp[0][j]=0;
	}
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=1;j<=m;j++)
		{
			//状态转移
			if(is[i][j]) dp[i][j]=0;
			else dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
		}
	}
	cout<<dp[n][m]<<endl;
	return 0;
}