概念

线段树是一种二叉树形数据结构，1977年由Jon Louis Bentley\text{Jon Louis Bentley}发明，用以存储区间或线段，并且允许快速查询结构内包含某一点的所有区间。
一个包含n{\displaystyle n}个区间的线段树，空间复杂度为O(n){\displaystyle O(n)}，查询的时间复杂度则为O(log⁡n+k){\displaystyle O(\log n+k)}，其中k{\displaystyle k}是符合条件的区间数量。
此数据结构亦可推广到高维度。
（来源：WikiPedia）

用途

一般来说，在线段树内进行单词查询和更新的时间复杂度为O(log⁡n)O(\log n)。主要可以实现单点更新、区间更新、区间查询、单点查询等操作，求解一系列区间问题（区间求和，求区间最大值，求区间最小值……）。

线段树的结构


上图是一棵表示区间[1,20][1,20]的线段树。
可以看到，线段树将每个长度不为11的区间划分成左右两个区间递归求解，把整个线段划分为一个树形结构，通过合并左右两区间信息来求得该区间的信息，因此，线段树所储存的信息应当都满足结合律。这种数据结构可以方便地进行大部分的区间操作。建树、修改、查询都可以从根节点向下分别访问左右子树，在O(log⁡n)O(\log n)内完成操作。

单点更新 区间查询

更新

从根节点开始向下递归，找到叶子节点，然后自底向下更新。

查询

自顶向上查询对应区间。

模板

HDU 1116 敌兵布阵

Problem Description

C国的死对头A国这段时间正在进行军事演习，所以C国间谍头子Derek和他手下Tidy又开始忙乎了。A国在海岸线沿直线布置了NN个工兵营地,Derek和Tidy的任务就是要监视这些工兵营地的活动情况。由于采取了某种先进的监测手段，所以每个工兵营地的人数C国都掌握的一清二楚,每个工兵营地的人数都有可能发生变动，可能增加或减少若干人手,但这些都逃不过C国的监视。
中央情报局要研究敌人究竟演习什么战术,所以Tidy要随时向Derek汇报某一段连续的工兵营地一共有多少人,例如Derek问:“Tidy,马上汇报第33个营地到第1010个营地共有多少人!”Tidy就要马上开始计算这一段的总人数并汇报。但敌兵营地的人数经常变动，而Derek每次询问的段都不一样，所以Tidy不得不每次都一个一个营地的去数，很快就精疲力尽了，Derek对Tidy的计算速度越来越不满:"你个死肥仔，算得这么慢，我炒你鱿鱼!”Tidy想：“你自己来算算看，这可真是一项累人的工作!我恨不得你炒我鱿鱼呢!”无奈之下，Tidy只好打电话向计算机专家Windbreaker求救,Windbreaker说：“死肥仔，叫你平时做多点acm题和看多点算法书，现在尝到苦果了吧!”Tidy说："我知错了。"但Windbreaker已经挂掉电话了。Tidy很苦恼，这么算他真的会崩溃的，聪明的读者，你能写个程序帮他完成这项工作吗？不过如果你的程序效率不够高的话，Tidy还是会受到Derek的责骂的。

Input

第一行一个整数TT，表示有TT组数据。
每组数据第一行一个正整数NN(N≤50000)(N\le 50000),表示敌人有NN个工兵营地，接下来有NN个正整数,第ii个正整数aia_i代表第ii个工兵营地里开始时有aia_i个人(1≤ai≤50)(1\le a_i\le 50)。
接下来每行有一条命令，命令有44种形式：
(1)Add\text{Add} ii jj,ii和jj为正整数,表示第ii个营地增加jj个人（jj不超过3030）；
(2)Sub\text{Sub} ii jj ,ii和jj为正整数,表示第ii个营地减少jj个人（jj不超过3030）；
(3)Query\text{Query} ii jj ,ii和jj为正整数,i≤ji\le j，表示询问第ii到第jj个营地的总人数；
(4)End\text{End} 表示结束，这条命令在每组数据最后出现；
每组数据最多有4000040000条命令

Output

对第ii组数据,首先输出“Case i:”和回车,
对于每个Query\text{Query}询问，输出一个整数并回车,表示询问的段中的总人数,这个数保持在int以内。

Sample Input

1
10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Query 1 3
Add 3 6
Query 2 7
Sub 10 2
Add 6 3
Query 3 10
End

Sample Output

Case 1:
6
33
59

分析

板子题。

代码

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91
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98
99
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstdio>
#define N 50004
using namespace std;
struct segment
{
	int l,r;
	int val;
}tree[N<<2];
int n;
string opt;
int a[N];
//自底向上更新   
void pushup(int id)
{
	tree[id].val=tree[id<<1|1].val+tree[id<<1].val;
}
void build(int id,int l,int r)
{
	//给节点划定区间
	tree[id].l=l;
	tree[id].r=r;
	if(l==r)
	{
		tree[id].val=a[l];
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	//建子树
	build(id<<1,l,mid);
	build(id<<1|1,mid+1,r);
	pushup(id);//自底向上更新
}
int query(int id,int l,int r)
{
	//所求区间包含该节点维护的区间，直接返回节点值
	if(l<=tree[id].l&&tree[id].r<=r) return tree[id].val;
	int mid=tree[id].l+tree[id].r>>1;
	int res=0;
	//按区间交问题访问两颗子树
	if(l<=mid) res+=query(id<<1,l,r);
	if(r>=mid+1) res+=query(id<<1|1,l,r);
	return res;
}
void update(int id,int x,int v)
{
	//找到需要更新的节点
	if(tree[id].l==x&&tree[id].r==x) 
	{
		tree[id].val+=v;
		return;
	}
	int mid=tree[id].l+tree[id].r>>1;
	//访问节点所在的子树
	if(x<=mid) update(id<<1,x,v);
	else update(id<<1|1,x,v);
	pushup(id);//自底向上更新
}
void solve()
{
	cin>>n;
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	build(1,1,n);//建树
	while(cin>>opt)
	{
		if(opt=="End") break;
		if(opt=="Sub") 
		{
			int x,v;
			scanf("%d%d",&x,&v);
			update(1,x,-v);
		}
		else if(opt=="Add")
		{
			int x,v;
			scanf("%d%d",&x,&v);
			update(1,x,v);
		}
		else 
		{
			int l,r;
			scanf("%d%d",&l,&r);
			printf("%d\n",query(1,l,r));
		}
	}
}
int main()
{
	int t;
	int times=0;
	cin>>t;
	while(++times<=t) 
	{
		printf("Case %d:\n",times);
		solve();
	}
}

区间更新 区间查询

lazy\text{lazy}标记

lazy\text{lazy}标记的精髓就是打标记和下传操作，当我们要进行区间修改时，如果暴力对区间中每一个点进行单点更新，时间复杂度必然会很大，所以我们不妨在区间进行修改时为该区间打上一个标记，就不必再修改他的儿子所维护区间，等到要使用该节点的儿子节点维护的值时，再将lazy\text{lazy}标记下放即可。
对于每次区间更新和查询，将标记下传，时间复杂度仍然维持O(log⁡n)O(\log n)。
难点就在于lazy\text {lazy}标记的形式。

更新

考虑将一个区间加上一个数，我们可以从根节点不断向下查找，当发现我们要更新的区间覆盖了当前节点时，我们就把这个区间给更新，并打上lazy\text{lazy}标记（由于lazy\text{lazy}标记存在，我们就不必再修改儿子节点），否则下传lazy\text{lazy}标记，继续向下找。

查询

考虑询问一个区间的和，依旧是从根节点向下查找，当发现该节点被覆盖时，就返回维护的值，否则下传lazy\text{lazy}标记，查询左右儿子，累加答案。

模板

洛谷 P3372 【模板】线段树 1

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
将某区间每一个数加上 kk。
求出某区间每一个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 n,mn, m，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。
第二行包含 nn 个用空格分隔的整数，其中第 ii 个数字表示数列第 ii 项的初始值。
接下来 mm 行每行包含 33 或 44 个整数，表示一个操作，具体如下：
1 x y k：将区间 [x,y][x, y]内每个数加上 kk。
2 x y ：输出区间 [x,y][x, y] 内每个数的和。

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 22 的结果。

输入输出样例

输入 #1

5 5
1 5 4 2 3
2 2 4
1 2 3 2
2 3 4
1 1 5 1
2 1 4

输出 #1

11
8
20

说明/提示

对于 30%30\% 的数据：n≤8n \le 8，m≤10m \le 10。
对于 70%70\% 的数据：n≤103n \le {10}^3，m≤104m \le {10}^4。
对于 100%100\% 的数据：1≤n,m≤1051 \le n, m \le {10}^5。
保证任意时刻数列中任意元素的和在 [−263,263)[-2^{63}, 2^{63}) 内。

分析

每次会在某个区间上加上kk，查询的是区间和。
对某个区间进行修改时，该区间的lazy\text{lazy}标记应该叠加上kk，该区间的值是区间的长度乘上lazy\text{lazy}标记。

代码

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113
114
115
#include<iostream>
#define ll long long
#define N 100004
using namespace std;
ll a[N];
int n,m;
struct segment
{
	int l,r;//节点区间
	ll val;//节点值
	ll lazy;//节点标记
}tree[N<<2];
void pushup(int id)
{
	//合并两颗子树的信息
	tree[id].val=tree[id<<1].val+tree[id<<1|1].val;
}
void build(int id,int l,int r)
{
	//给区间赋值
	tree[id].l=l;
	tree[id].r=r;
	if(l==r)
	{
		//到叶子节点赋值
		tree[id].val=a[l];
		tree[id].lazy=0;//初始标记为0
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	build(id<<1,l,mid);
	build(id<<1|1,mid+1,r);
	pushup(id);//向上更新
}
void pushdown(int id)
{
	//向下更新
	if(tree[id].lazy)
	{
		//用lazy标记更新两个子节点
		tree[id<<1].val+=tree[id].lazy*(tree[id<<1].r-tree[id<<1].l+1);
		tree[id<<1|1].val+=tree[id].lazy*(tree[id<<1|1].r-tree[id<<1|1].l+1);
		//lazy标记下传
		tree[id<<1].lazy+=tree[id].lazy;
		tree[id<<1|1].lazy+=tree[id].lazy;
		//父亲节点lazy标记消除
		tree[id].lazy=0;
	}
}
/*--------------更新操作------------*/
void update(int id,int l,int r,int v)
{
	//节点维护区间在需要更新的区间内 
	if(l<=tree[id].l&&tree[id].r<=r)
	{
		//更新该节点，作上标记，不再向下更新
		tree[id].val+=(ll)v*(tree[id].r-tree[id].l+1);
		tree[id].lazy+=v;
		return;
	}
	/*节点维护区间不在需要更新的区间内区间内
	将lazy标记下传
	继续搜索直到节点维护区间在需要更新的区间内*/
	pushdown(id);
	int mid=tree[id].l+tree[id].r>>1;
	//按照区间交的关系访问两棵子树
	if(l<=mid) update(id<<1,l,r,v);
	if(r>=mid+1) update(id<<1|1,l,r,v);
	pushup(id);
}
/*--------------查询操作--------------*/
ll query(int id,int l,int r)
{
	//所求区间包含该节点维护的区间，直接返回节点值
	if(l<=tree[id].l&&tree[id].r<=r) return tree[id].val;
	/*所求区间不包含该节点维护的区间
	lazy标记下传
	继续搜索直到节点维护区间在需要更新的区间内*/
	pushdown(id);
	int mid=tree[id].l+tree[id].r>>1;
	ll res=0;
	//按照区间交的关系访问两棵子树，叠加答案
	if(l<=mid) res+=query(id<<1,l,r);
	if(r>=mid+1) res+=query(id<<1|1,l,r);
	return res;//返回
}
void solve()
{
	cin>>n>>m;
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	build(1,1,n);//建树
	while(m--)
	{
		short opt;
		cin>>opt;
		int l,r;
		if(opt==1)
		{
			int v;
			cin>>l>>r>>v;
			update(1,l,r,v);
		}
		else
		{
			cin>>l>>r;
			cout<<query(1,l,r)<<endl;
		}
	}
}
int main()
{
	solve();
	return 0;
}

HDU 1698

Problem Description

In the game of DotA, Pudge’s meat hook is actually the most horrible thing for most of the heroes. The hook is made up of several consecutive metallic sticks which are of the same length.

Now Pudge wants to do some operations on the hook.
Let us number the consecutive metallic sticks of the hook from 11 to NN. For each operation, Pudge can change the consecutive metallic sticks, numbered from XX to YY, into cupreous sticks, silver sticks or golden sticks.
The total value of the hook is calculated as the sum of values of NN metallic sticks. More precisely, the value for each kind of stick is calculated as follows:
For each cupreous stick, the value is 11.
For each silver stick, the value is 22.
For each golden stick, the value is 33.
Pudge wants to know the total value of the hook after performing the operations.
You may consider the original hook is made up of cupreous sticks.

Input

The input consists of several test cases. The first line of the input is the number of the cases. There are no more than 1010 cases.
For each case, the first line contains an integer NN, 1≤N≤1000001\le N\le 100000, which is the number of the sticks of Pudge’s meat hook and the second line contains an integer QQ, 0≤Q≤1000000\le Q\le100000, which is the number of the operations.
Next QQ lines, each line contains three integers XX, YY, 1≤X≤Y≤N1\le X\le Y\le N, ZZ, 1≤Z≤31\le Z\le 3, which defines an operation: change the sticks numbered from XX to YY into the metal kind ZZ, where Z=1Z=1 represents the cupreous kind, Z=2Z=2 represents the silver kind and Z=3Z=3 represents the golden kind.

Output

For each case, print a number in a line representing the total value of the hook after the operations. Use the format in the example.

Sample Input

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10
2
1 5 2
5 9 3

Sample Output

Case 1: The total value of the hook is 24.

Translation

给nn根棒子，初始所有都为铜棒（价值为11）。每次操作将区间[x,y][x,y]内的改成铜棒、银棒或金棒，价值分别为1,2,31,2,3。
所有操作完成后输出所有棒的价值和。

Idea

用线段树维护区间和。
对某个区间进行修改时，该区间的lazy\text{lazy}标记应该直接覆盖上zz，该区间的值是区间的长度乘上lazy\text{lazy}标记。

Code

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39
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59
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93
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97
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99
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102
103
104
105
106
107
108
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 100004
using namespace std;
int n,q;
struct segment
{
	int l,r;//节点区间
	int val;//节点值
	int lazy;//节点标记
}tree[N<<2];
void pushup(int id)
{
	//合并两颗子树的信息
	tree[id].val=tree[id<<1].val+tree[id<<1|1].val;
}
void build(int id,int l,int r)
{
	//给区间赋值
	tree[id].l=l;
	tree[id].r=r;
	if(l==r)
	{
		//到叶子节点赋值
		tree[id].val=1;
		tree[id].lazy=0;//初始标记为0
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	build(id<<1,l,mid);
	build(id<<1|1,mid+1,r);
	pushup(id);//向上更新
}
void pushdown(int id)
{
	//向下更新
	if(tree[id].lazy)
	{
		//用lazy标记更新两个子节点
		tree[id<<1].val=tree[id].lazy*(tree[id<<1].r-tree[id<<1].l+1);
		tree[id<<1|1].val=tree[id].lazy*(tree[id<<1|1].r-tree[id<<1|1].l+1);
		//lazy标记下传
		tree[id<<1].lazy=tree[id].lazy;
		tree[id<<1|1].lazy=tree[id].lazy;
		//父亲节点lazy标记消除
		tree[id].lazy=0;
	}
}
/*--------------更新操作------------*/
void update(int id,int l,int r,int v)
{
	//节点维护区间在需要更新的区间内 
	if(l<=tree[id].l&&tree[id].r<=r)
	{
		//更新该节点，作上标记，不再向下更新
		tree[id].val=v*(tree[id].r-tree[id].l+1);
		tree[id].lazy=v;
		return;
	}
	/*节点维护区间不在需要更新的区间内区间内
	将lazy标记下传
	继续搜索直到节点维护区间在需要更新的区间内*/
	pushdown(id);
	int mid=tree[id].l+tree[id].r>>1;
	//按照区间交的关系访问两棵子树
	if(l<=mid) update(id<<1,l,r,v);
	if(r>=mid+1) update(id<<1|1,l,r,v);
	pushup(id);
}
/*--------------查询操作--------------*/
int query(int id,int l,int r)
{
	//所求区间包含该节点维护的区间，直接返回节点值
	if(l<=tree[id].l&&tree[id].r<=r) return tree[id].val;
	/*所求区间不包含该节点维护的区间
	lazy标记下传
	继续搜索直到节点维护区间在需要更新的区间内*/
	pushdown(id);
	int mid=tree[id].l+tree[id].r>>1;
	int res=0;
	//按照区间交的关系访问两棵子树，叠加答案
	if(l<=mid) res+=query(id<<1,l,r);
	if(r>=mid+1) res+=query(id<<1|1,l,r);
	return res;//返回
}
int solve()
{
	memset(tree,0,sizeof(tree));
	cin>>n>>q;
	int i;
	build(1,1,n);//建树
	while(q--)
	{
		int x,y,z;
		cin>>x>>y>>z;
		update(1,x,y,z);
	}
	return query(1,1,n);//输出区间[1,n]的值
}
int main()
{
	int t;
	cin>>t;
	int times=0;
	while(++times<=t) printf("Case %d: The total value of the hook is %d.\n",times,solve());
	return 0;
}